Gödel e a incompletude da aprovação
O teorema de Gödel, ou melhor, suas consequências, também permitem interpretações, quanto às possíveis, ou quem sabe prováveis, incertezas que eventualmente desestabilizem a sempre certa e poderosa matemática. Godel foi o primeiro a falar sobre o tema e concluiu que: “ou a mente não era equivalente a uma máquina finita ou que haveria determinadas equações diofantinas para as quais não era possível encontrar uma solução”.
Não sendo teorema, mas teoremas de incompletude, onde o primeiro afirmava que qualquer teoria axiomática recursivamente enumerável e capaz de expressar algumas verdades básicas de aritmética não pode ser, ao mesmo tempo, completa e consistente. E o segundo alegava que uma teoria recursivamente enumerável e capaz de expressar verdades básicas da aritmética e alguns enunciados da teoria da prova, pode provar sua própria consistência se, e somente se, for inconsistente.
A ideia principal envolve criar uma fórmula na linguagem objeto da aritmética, que, de ponto de vista da metalinguagem, traduz a noção de dedução formal da forma “ξ é o código de uma dedução da fórmula ζ”. Com esta fórmula é um resultado de diagonalização é possível obter uma outra que expressa a ideia que “ζ é o código desta fórmula, a qual não é dedutível”.
De grosso modo podemos expressar o primeiro teorema da seguinte maneira:
Para cada teorema T temos uma afirmação G que diz “esta afirmação não pode ser provada em T. Se G pode ser provada dentro dos axiomas e regras de T então temos um teorema G que se contradiz a si próprio, tornando a teoria inconsistente.
Isto significa que se a teoria é consistente, então não podemos provar G, e assim a afirmação de G acerca de não poder ser provado é correta. G é verdade mas não pode ser provado. A teoria então é incompleta.
É possível definir uma teoria maior T' que contenha a totalidade de T mais a afirmação G como um axioma. Contudo, pelo teorema da Gödel, então haverá uma nova afirmação G' capaz de mostrar que T' é também incompleta. E então nós podemos definir uma teoria T'' que contenha a totalidade de T' mais a afirmação G'... E assim por diante.
O segundo pode ser descrito:
Para cada teoria T formal que inclua a aritmética e a capacidade de prova, T só é capaz de fazer uma afirmação sobre a sua própria consistência se T for inconsistente.
O sistema só pode dizer que é consistente se na realidade não o for.